tanx的微分是(secx)^2，即正弦波的微分是余割的万平方。他们能试著用微分的表述式子昂格吕尔县，也能转作商的二项式式子昂格吕尔县那个微分。

扩大开放试玩微分的表述式子f(x)=lim(h->0) ((f(x+h)-f(x))/h)，因而(tanx)=lim(h->0) ((tan(x+h)-tanx)/h)=lim(h->0)(((tanx+tanh)/(1-tanxtanh)-tanx)/h)=lim(h->0)(((tanx+tanh)-(tanx-(tanx)^2tanh))/(h(1-tanxtanh)))=lim(h->0)(((tanh+(tanx)^2tanh))/(h(1-tanxtanh))). 这儿要应用领域lim(h->0)(tanh/h)=1，能获得(tanx)=lim(h->0)((1+(tanx)^2)/(1-tanxtanh))=1+(tanx)^2=(secx)^2。

以内是借助微分的表述式子求正弦波的导表达式的操作过程，相较较为繁，因此通常不能用此种方式去面世tanx的微分，而要借助商的二项式式子昂格吕尔县那个导表达式。

商的微分式子是：当表达式u(x)和v(x)都可导，且v(x)不等同于0时，微分(u(x)/v(x))=(u(x)v(x)-v(x)u(x))/(u(x))^2。即平均分（即商）的微分，个数的万平方做微分的个数，大分子的微分除以个数除以个数的微分乘大分子做微分的大分子。

即使tanx=sinx/cosx，合乎商的基本概念，因而tanx的微分是求正弦波和正弦波的商的微分。个数cosx的万平方做微分的个数，大分子sinx的微分cosx除以个数cosx，即cosx的万平方，除以个数cosx的微分-sinx乘大分子sinx，即除以-sinx的万平方，做微分的大分子。大分子=(cosx)^2-(-(sinx)^2)=(cosx)^2+(sinx)^2=1. 因而tanx的微分等同于1/(cosx)^2=(secx)^2.

或许，借助商的微分式子求tanx的微分要更方便快捷，但一千万千万别即使此种就忽略了第二种方式。学微积分，甚么方式都要尽可能掌控，这就像喝茶那样，不能吃零食，此种就可以充份稀释微积分的养料。